From Gossip@caterpillar

Algorithm Gossip: 上三角、下三角、對稱矩陣

說明

上三角矩陣是矩陣在對角線以下的元素均為0，即A_ij = 0，i > j，例如：

1   2   3   4    5
0   6   7   8    9
0   0   10    11 12
0   0   0   13 14
0   0   0    0 15

下三角矩陣是矩陣在對角線以上的元素均為0，即A_ij= 0，i < j，例如：

1   0   0   0   0
2   6   0   0   0
3   7   10 0   0
4   8   11 13 0
5   9   12 14 15

對稱矩陣是矩陣元素對稱於對角線，例如：

1   2   3   4   5
2   6   7   8   9
3   7   10 11 12
4   8   11 13 14
5   9   12 14 15

上三角或下三角矩陣也有大部份的元素不儲存值（為0），我們可以將它們使用一維陣列來儲存以節省儲存空間，而對稱矩陣因為對稱於對角線，所以可以視為上三角或下三角矩陣來儲存。

解法

假設矩陣為nxn，為了計算方便，我們讓陣列索引由1開始，上三角矩陣化為一維陣列，若以列為主，其公式為：

loc = n*(i-1) - i*(i-1)/2 + j

化為以行為主，其公式為：

loc = j*(j-1)/2 + i

下三角矩陣化為一維陣列，若以列為主，其公式為：

loc = i*(i-1)/2 + j

若以行為主，其公式為：

loc = n*(j-1) - j*(j-1)/2 + i

公式的導證其實是由等差級數公式得到，您可以自行繪圖並看看就可以導證出來，對於C/C++或Java等索引由0開始的語言來說，只要將i與j各加1，求得loc之後減1即可套用以上的公式。

實作

#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h> 
#define N 5 

int main(void) { 
    int arr1[N][N] = { 
        {1, 2, 3,  4,   5}, 
        {0, 6, 7,  8,   9}, 
        {0, 0, 10, 11, 12}, 
        {0, 0, 0,  13, 14}, 
        {0, 0, 0,  0,  15}}; 

    int arr2[N*(1+N)/2] = {0}; 

    int i, j, loc = 0; 

    printf("原二維資料：\n"); 
    for(i = 0; i < N; i++) { 
        for(j = 0; j < N; j++) { 
            printf("%4d", arr1[i][j]); 
        } 
        printf("\n"); 
    } 

    printf("\n以列為主："); 
    for(i = 0; i < N; i++) { 
        for(j = 0; j < N; j++) { 
            if(arr1[i][j] != 0) 
                arr2[loc++] = arr1[i][j]; 
        } 
    } 
    for(i = 0; i < N*(1+N)/2; i++) 
        printf("%d ", arr2[i]); 

    printf("\n輸入索引(i, j)："); 
    scanf("%d, %d", &i, &j); 
    loc = N*i - i*(i+1)/2 + j; 
    printf("(%d, %d) = %d", i, j, arr2[loc]); 

    printf("\n"); 

    return 0; 
}

Java

public class TriangleArray {
    private int[] arr;
    private int length;
    
    public TriangleArray(int[][] array) {
        length = array.length;
        arr = new int[length*(1+length)/2];
        
        int loc = 0;
        for(int i = 0; i < length; i++) { 
            for(int j = 0; j < length; j++) { 
                if(array[i][j] != 0) 
                    arr[loc++] = array[i][j]; 
            } 
        }
    }
    
    public int getValue(int i, int j) {
        int loc = length*i - i*(i+1)/2 + j;
        return arr[loc];
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[][] array = { 
                {1, 2, 3,  4,   5}, 
                {0, 6, 7,  8,   9}, 
                {0, 0, 10, 11, 12}, 
                {0, 0, 0,  13, 14}, 
                {0, 0, 0,  0,  15}};
        
        TriangleArray triangleArray =
                                   new TriangleArray(array);
        
        System.out.print(triangleArray.getValue(2, 2));
    }
}