From Gossip@caterpillar

Computer Graphics: 函式圖形繪製

 

 


工程相關領域的行業，通常少不了面對函式繪圖，現在有許多的軟體都可以使用更方便的功能來繪製複雜的函式圖形，如著名的Matlab。

在這邊介紹三維立體空間的函式繪製，將函式分為兩類：「顯函式」與「隱函式」。

顯函式

如果可以將函式表示為y = f(x, z) 的形式，這種函式稱之為顯函式，由於顯函式的(x,z)只會產生一個結果，所以顯函式所表示的圖形若使用一條與y軸平行的直線來與圖形相交，最多只有一個交點。

繪製顯函式的方法就是分別對x與z進行迴圈計數，並帶入原方程式求出y值，然後在螢幕上繪出(x, y)的對應圖（z = f(x, y)或x = f(y, z)只是換個角度繪圖，方法一樣）。

隱函式

如果函式是f(x, y, z) = 0的形式，稱之為隱函式，雖然y - f(x, z) = 0也可以算是屬於此種形式，不過這邊所說的隱函式是指那些無法化為y = f(x, z)形式的函式；當畫上一條與y軸平行的直線時，可能會發生幾個情況，例如以球面函式x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0來說，可能沒有交點、一個交點或是兩個交點，如下圖所示：


由於一對(x, z)值可能會有兩個交點，所以我們必須將隱函式設法改變為以下的形式才能進行繪圖：
x = x(s, t)
y = y(s, t)
z = z(s, t)

以上的形式稱之為參數式，之後我們就可以利用(s, t)進行迴圈計數並計算出(x, y, z)的值並進行繪圖，當然(x, y, z)的參數式代回原來的函式必須滿足原來的函式，以球面函式x2 + y2 + z2 - 1 = 0為例，較好的參數表示式當然就是極座標表示法。

大部份的隱函式都可以使用參數式來進行繪圖，不過不同的函式會需要不同的參數式，以下示範顯函式的繪圖：
  • FunctionGraphicDemo.java
package onlyfun.caterpillar;
 
import java.awt.Color;
import java.awt.Graphics;
import javax.swing.JApplet;
 
public class FunctionGraphicDemo extends JApplet {
    private int orgX;
    private int orgY;
    
    public void init() {
        super.init();
        setBackground(Color.black);
        orgX = (int)getSize().width /2;
        orgY = (int) (getSize().height / 2);
    }
 
    public void paint(Graphics g) {
        g.setColor(Color.yellow);
        
        // 從斜角繪製
        // 繞 x 軸轉 30 度，繞 y 軸轉 -30 度
        double angleX = Math.toRadians(30);
        double angleY = Math.toRadians(-30);

        for(int z = 200; z >= -200; z-=10) { 
            for(int x = -200; x <= 200; x++) {
                double y = 30*(Math.cos(
                                Math.toRadians(
                                  Math.sqrt(x*x+z*z))) 
                         + Math.cos(
                            Math.toRadians(3 *
                              Math.sqrt(x*x+z*z))); 
 
                // 立體旋轉，從斜角繪製，調整繪圖中心至視窗中心
                int pointX = (int) (orgX + x*Math.cos(angleY) + 
                                     z*Math.sin(angleY));
                int pointY = (int) (orgY - (y*Math.cos(angleX) - 
                              (-x*Math.sin(angleY) + 
                               z*Math.cos(angleY)) * 
                               Math.sin(angleX)));              
                g.drawLine(pointX, pointY, pointX, pointY); 
            } 
        }
    }
}