正多面體頂點

Computer Graphics: 正多面體頂點

一些有規則性的立體圖形，可以使用幾個簡單的變量，並透過運算來產生立體圖形的所有頂點，正多面體正是這麼樣的圖形，只有一個變數就可以定出所有的座標點。

如果將正多面體裝入一個剛好可以容納它的球體中，則正多面體的每一個頂點都會位於球殼上，且每個稜邊長是相等的。正多面體又稱「柏拉圖多面體」，因為希臘哲學家柏拉圖發現，在三維空間中，最多就只有五種正多面體：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體與正二十面體。

如何使用一個變數來指定正多面體的所有頂點呢？先將正多面體的中心置於原點，然後將其中一個頂點置於Y軸上，也就是(0, r, 0)，其中從中心至頂點的距離，也就是可以容納正多面體的球半徑，將由Y軸上頂點延伸出來的錂線取出與錂線相接的頂點，再由這些頂點求出對稱原點的另一端頂點，如此就可以求出所有的頂點。

正四面體、正六面體、正十二面體單一頂點延伸出來的錂線有三條，而正八面體有四條，正二十面體有五條。

正四面體

有一正四面體其中心在原點，如下所示：

由頂點(0, r, 0)所延伸出來的錂線有三條，為了計算方便，將兩個頂點置於同一XY平面上，所以錂線所接的各頂點經計算後如下所示：

由於正四面體只有四個頂點，所以此時所有的頂點已被訂出，正四面體每個面的頂點數為三，配合頂點索引陣列，可以使用以下的程式來訂出所有的面：

double sq2 = Math.sqrt(2.0), sq3 = Math.sqrt(3.0);
Vt[0] = new Point3D(0, r, 0);
Vt[1] = new Point3D(0, -r/3, r*2*sq2/3);
Vt[2] = new Point3D(r*sq2/sq3, -r/3, -r*sq2/3);
Vt[3] = new Point3D(-r*sq2/sq3, -r/3, -r*sq2/3);

int[][] ord = {{0, 1, 2}, {0, 2, 3}, {0, 3, 1}, {1, 3, 2}};

正六面體

有一正六面體其中心在原點，如下所示：

由頂點(0, r, 0)所延伸出來的錂線有三條，為了計算方便，將兩個頂點置於同一XY平面上，所以錂線所接的各頂點經計算後如下所示：

其它未定出的頂點皆以原點對稱於這四個頂點，對稱於原點其實就是將(x, y, z)都乘上負號，假設有個方法是minus()是進行這項工作，則其它頂點的計算及面的索引陣列如下所示，其中NVt表示頂點數，對正六面體而言是8：

double sq2 = Math.sqrt(2.0), sq3 = Math.sqrt(3.0);
Vt[0] = new Point3D(0, r, 0);
Vt[1] = new Point3D(0, r/3, r*2*sq2/3);
Vt[2] = new Point3D(r*sq2/sq3, r/3, -r*sq2/3);
Vt[3] = new Point3D(-r*sq2/sq3, r/3, -r*sq2/3);

for(int i = 0; i < NVt; i++)
Vt[NVt/2+i] = minus(Vt[i]);

int[][] ord = {{0, 1, 7, 2}, {0, 2, 5, 3}, {0, 3, 6, 1},
{4, 6, 3, 5}, {4, 7, 1, 6}, {4, 5, 2, 7}};

正八面體

依以上同樣的道理，可以定出正八面體的一組基本頂點，不過正八面體的中心的三個頂點可以調整至XYZ三軸上，如下所示：

正八面體的頂點配置方式與頂點索引陣列，提供以下的程式作參考，其中NVt?表示頂點數，對正八面體而言是6：

Vt[0] = new Point3D(0, r, 0);
Vt[1] = new Point3D(0, 0, r);
Vt[2] = new Point3D(r, 0, 0);

for(int i = 0; i < NVt; i++)
Vt[NVt/2+i] = minus(Vt[i]);

int[][] ord = {{0, 1, 2}, {0, 2, 4}, {0, 4, 5}, {0, 5, 1},
{3, 5, 4}, {3, 1, 5}, {3, 2, 1}, {3, 4, 2}};

正十二面體

下圖為正十二面體的圖形：

正十二面體的對稱頂點有十對，頂點配置與頂點索引陣列如下所示，其中NVt表示頂點數，對正十二面體而言是20：

double sq3=Math.sqrt(3.0),sq5=Math.sqrt(5.0);
Vt[0] = new PointD3(0,r,0);
Vt[1] = new PointD3(0,r*sq5/3,r*2/3);
Vt[2] = new PointD3(r*sq3/3,r*sq5/3,-r/3);
Vt[3] = new PointD3(-r*sq3/3,r*sq5/3,-r/3);
Vt[4] = new PointD3(r*sq3/3,r/3,r*sq5/3);
Vt[5] = new PointD3(r*t1*sq3/3,r/3,r*t2*t2/3);
Vt[6] = new PointD3(r*t2*sq3/3,r/3,-r*t1*t1/3);
Vt[7] = new PointD3(-r*t2*sq3/3,r/3,-r*t1*t1/3);
Vt[8] = new PointD3(-r*t1*sq3/3,r/3,r*t2*t2/3);
Vt[9] = new PointD3(-r*sq3/3,r/3,r*sq5/3);
for(int i = 0; i < NVt/2; i++)
    Vt[NVt/2+i] = minus(Vt[i]);

int[][]ord =
         {{ 0, 1, 4, 5, 2},{ 0, 2, 6, 7, 3},{ 0, 3, 8, 9, 1},
         { 1, 9,16,17, 4},{ 2, 5,18,19, 6},{ 3, 7,14,15, 8},
         {10,12,15,14,11},{10,13,17,16,12},{10,11,19,18,13},
         {11,14, 7, 6,19},{12,16, 9, 8,15},{13,18, 5, 4,17}};

正二十面體

下圖為正二十面體的圖形：

正二十面體的對稱頂點有六對，頂點配置與頂點索引陣列如下所示，其中NVt表示頂點數，對正二十面體而言是12：

double sq5=Math.sqrt(5.0);
double t1 = (sq5+1)/2, t2 = (sq5-1)/2;
Vt[0] = new PointD3(0,r,0);
Vt[1] = new PointD3(0,r/sq5,r*2/sq5);
Vt[2] = new PointD3(r*Math.sqrt(t1/sq5),r/sq5,r*t2/sq5);
Vt[3] = new PointD3(r*Math.sqrt(t2/sq5),r/sq5,-r*t1/sq5);
Vt[4] = new PointD3(-r*Math.sqrt(t2/sq5),r/sq5,-r*t1/sq5);
Vt[5] = new PointD3(-r*Math.sqrt(t1/sq5),r/sq5,r*t2/sq5);
for(int i = 0; i<NVt/2; i++)
    Vt[NVt/2+i] = minus(Vt[i]);

int[][]ord =
          {{0, 1,2},{0, 2,3},{0, 3,4},{ 0, 4, 5},{ 0,5, 1},
           {1,10,2},{2,11,3},{3, 7,4},{ 4, 8, 5},{ 5,9, 1},
           {6, 8,7},{6, 9,8},{6,10,9},{ 6,11,10},{ 6,7,11},
           {7, 8,4},{8, 9,5},{9,10,1},{10,11, 2},{11,7, 3}};